ABC BAC açısı dik olmak üzere bir dikaçılı üçgen olsun;
diyorum ki BC üzerindeki kare BA ve AC üzerindeki karelere eşittir.
Çünkü BC üzerinde BDEC karesi, BA, AC üzerinde GB, HC kareleri çizilsin; [I. 46]
A dan ya BD ye ya da CE ye koşut AL çizilsin, ve AD, FC birleştirilsin.
Sonra, BAC, BAG açılarından her biri dik olduğu için, bundan şu çıkar ki bir BA doğru çizgisi ile, ve üzerindeki A noktasında, aynı kenar
üzerinde olmayan AC, AG gibi iki doğru çizgi bitişik açıları
iki dik açıya eşit yapar;
 öyleyse CA AG ile birlikte bir doğru çizgidedir. [I. 14]
Aynı nedenle
BA da AH ile bir doğru çizgidedir.
Ve, DBC açısı FBA açısına eşit olduğu için: çünkü her biri diktir:
her birine ABC açısı eklensin;
öyleyse bütün DBA açısı bütün FBC açısına eşittir. [O.K. 2]
Ve, DB BC ye, ve FB BA ya eşit olduğu için,
AB, BD kenarları sırasıyla FB, BC kenarlarına eşittir;
ve ABD açısı FBC açısına eşittir;
öyleyse AD tabanı FC tabanına eşittir,
ve ABD üçgeni FBC üçgenine eşittir. [I. 4]
Şimdi BL koşutkenarı ABD üçgenin iki katıdır, çünkü aynı BD tabanını alırlar
ve aynı BD, AL koşutlarındadırlar. [I. 41]
Ve GB karesi FBC üçgeninin iki katıdır,
çünkü yine aynı FB tabanını alırlar ve aynı FB, GC koşutlarındadırlar. [I. 41]
[Ama çiftlerin eşitleri
birbirine eşittir.]
Öyleyse BL koşutkenarı GB karesine de eşittir.
Benzer olarak, eğer AE, BK birleştirilirse,
CL koşutkenarının da HC karesine eşit olduğu tanıtlanabilir;
öyleyse bütün BDEC karesi GB, HC karelerine eşittir. [O.K.2]
Ve BDEC karesi BC üzerinde çizilir,
ve GB, HC kareleri BA, AC üzerinde.
Öyleyse BC kenarı üzerindeki kare BA, AC kenarları üzerindeki karelere
eşittir.
Öyleyse vb.
Q.E.D. |
